Ensembles finis Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le quotient des fonctions.

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Étape 1.1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Étape 1.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Étape 1.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Étape 1.2.3.3

Élevez $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Étape 1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Étape 1.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ comme $(2 + x) (2 - x)$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ comme ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Étape 1.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Étape 1.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3

Définissez $2 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.4

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 3.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 3.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Étape 3.7.1.3

Le côté gauche $48$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 3.7.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Étape 3.7.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 3.7.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Étape 3.7.3.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.7.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Étape 3.7.4.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 3.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 2$ ou $0 \leq x \leq 2$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 5.2

Définissez $2 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.3

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 5.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 + x) (2 - x) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Étape 7